El hotel infinito.

Llevamos ya unas cuantas clases estudiando límites y nuestro amigo infinito no para de aparecer,  y encima en indeterminaciones que nos vuelven locos, pero, ¿de verdad comprendemos qué es el infinito? Bueno, intentaremos esclarecerlo un poco con este vídeo.

Y después de esto, vamos más allá. 

En una época de auge hotelero la empresa propietaria de nuestro hotel decidió adquirir infinitos hoteles de Hilbert, uno por cada natural positivo. Pero la crisis llega tiempo después y dicha empresa decide cerrar todos los hoteles menos uno. El problema es bastante serio, ya que en el momento del cierre todos sus hoteles de Hilbert tienen ocupación completa, y después de cerrar deben dejar a todos los huéspedes de todos los hoteles alojados. Parece difícil pero es posible.

Primero nos vamos al hotel que quedará abierto y mudamos a cada inquilino a la habitación cuyo número corresponde con el doble de su habitación actual, como hicimos antes. Quedan entonces ocupadas todas las habitaciones pares y libres todas las impares. Después numeramos los hoteles que vamos a cerrar con los números primos, es decir, el primer hotel que cerramos es el hotel 3, el segundo el hotel 5, el tercero el 7, el cuarto el 11, y así sucesivamente. Y aquí está la clave: colocamos a los inquilinos del hotel p en las habitaciones p^1, p^2, p^n, . Esto es, los inquilinos del hotel 3 quedarán alojados en las habitaciones 3,9,27,81, los del hotel 5 en las habitaciones 5,25,125,625, así con todos los hoteles cerrados. Como el conjunto de números primos es infinito podemos así dar acomodo a todos los huéspedes de todos los hoteles.

Fuentes:
www.gaussianos.com
Órbita Laika